代数基本定理

定义

任何复系数一元 $n$ 次多项式（ $n$ 至少为 $1$ ）方程在复数域上至少有一根。

由此推出， $n$ 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 $n$ 个根，重根按重数计算。

有时这个定理也表述为：

任何一个非零的一元 $n$ 次复系数多项式，都正好有 $n$ 个复数根。

代数基本定理的证明，一般会用到复变函数或者近世代数，因此往往作为一个熟知结论直接应用。

根据代数基本定理，一个复系数多项式 $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}$ 一定可以唯一地分解为：

f (x) = a_{n} {(x - x_{1})}^{k_{1}} {(x - x_{2})}^{k_{2}} \dots {(x - x_{t})}^{k_{t}}

其中各个根均为复数， $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{t} = n$ 。

虚根成对定理

代数基本定理的研究对象是复系数多项式。当对实系数多项式进行研究时，虽然也能分解出复数根，却需要将研究范围扩大，不太方便。

虚根：非实数根。

定理：实系数多项式的根的共轭复数也是该多项式的根。

证明：直接在代数基本定理的等式两端取共轭即证毕。

如果根本身是实数，则取共轭仍为它本身，不受影响。

如果根是虚根，则虚根的共轭复数也是原多项式的根。那么，两个虚根就可以配对。

定理：实数系数方程的共轭虚根一定成对出现，并且共轭虚根的重数相等。

证明：假设一个根为 $a + b i$ ，则另一个根为 $a - b i$ 。这意味着在分解式中存在两项：

(x - a - b i) (x - a + b i) = x^{2} - 2 a x + a^{2} + b^{2}

可以看到两项乘在一起，各项系数会全部变为实数。这个等式右端的二次实系数多项式整除原始的多项式。

于是，在代数基本定理的等式中，两遍同时除以这个二次三项式，得到的仍旧是实系数多项式的等式。对新等式重复操作，随着次数的下降，若干次后即不存在虚根。

因此，每对共轭虚根的重数相等。证毕。

以下是虚根成对定理的推论：

实系数奇次多项式至少有一个实根，并且总共有奇数个实根。
实系数偶次多项式可能没有实根，总共有偶数个实根。

称上述二次三项式 $x^{2} - 2 a x + a^{2} + b^{2} = x^{2} + p x + q$ 为二次实系数不可约因式。不可约是指它在实数范围内不可约。

定理：实系数多项式一定是一次或者二次实系数不可约因式的积。

证明：

只要实系数多项式有一个实根 $c$ ，就有一个实系数因式 $x - c$ 和它对应；有一对虚根 $a \pm b i$ ，就有一个实系数因式 $x^{2} - 2 a x + a^{2} + b^{2}$ 和它对应。

因此，只要在原始的代数基本定理分解式中，利用虚根成对定理进行配对，即证毕。

根据虚根成对定理，一个实系数多项式 $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}$ 一定可以唯一地分解为：

f (x) = a_{n} {(x - x_{1})}^{k_{1}} {(x - x_{2})}^{k_{2}} \dots {(x - x_{t})}^{k_{t}} {(x^{2} + p_{1} x + q_{1})}^{l_{1}} {(x^{2} + p_{2} x + q_{2})}^{l_{2}} \dots {(x^{2} + p_{s} x + q_{s})}^{l_{s}}

其中各项系数均为实数， $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{t} + 2 (l_{1} + l_{2} + \dots + l_{s}) = n$ 。

林士谔算法

简介

怎样对实系数多项式进行代数基本定理的分解？如果将数域扩充至复数会很复杂。

如果只在实数范围内进行分解，只能保证，当次数大于 $2$ 的时候，一定存在实系数二次三项式因式。

这是因为，如果该多项式有虚根，直接凑出一对共轭虚根即可。如果该多项式只有实根，任取两个实根对应的一次因式乘在一起，也能得到实系数二次三项式因式。

找到二次三项式因式之后，再从二次式中解实根或复根就极为容易。于是便有逐次 找出一个二次因子 来求得方程的复根的计算方法，这种方法避免了复数运算。

在 1940 年 8 月、1943 年 8 月和 1947 年 7 月，林士谔先后在 MIT 出版的《数学物理》杂志上接连正式发表了 3 篇关于解算高阶方程式复根方法的论文¹，每次均有改进。

这个方法今天还在现代计算机中进行快速运算，计算机程序包（如 MATLAB）中的多项式求根程序依据的原理也是这个算法。

过程

要想找到一个二次三项式因子，就要将多项式分解为：

f (x) = (x^{2} + p_{1} x + q_{1}) g (x)

由于无法一下子找到二次三项式因子，按照迭代求解的思路，对于初始值有：

f (x) = (x^{2} + p x + q) g (x) + r x + s

会产生一个一次式作为余项。只要余项足够小，即可近似地找到待求因子。

我们希望最终解是初始值加一个偏移修正：

p_{1} = p + d p

q_{1} = q + d q

余式中的两个数 $(r, s)$ 由除式的给定系数 $(p, q)$ 决定。有偏导数关系：

d r = \frac{\partial r}{\partial p} d p + \frac{\partial r}{\partial q} d q

d s = \frac{\partial s}{\partial p} d p + \frac{\partial s}{\partial q} d q

在初始的等式中，被除式 $f (x)$ 是给定的，商式 $g (x)$ 和余式 $r x + s$ 随着除式 $x^{2} + p x + q$ 的变化而变化。因此有偏导数关系

0 = x g (x) + \frac{\partial g (x)}{\partial p} (x^{2} + p x + q) + \frac{\partial r}{\partial p} x + \frac{\partial s}{\partial p}

0 = g (x) + \frac{\partial g (x)}{\partial q} (x^{2} + p x + q) + \frac{\partial r}{\partial q} x + \frac{\partial s}{\partial q}

注意到，偏导数只是一个数值，与变元 $x$ 无关。因此有整除关系

x g (x) = - \frac{\partial g (x)}{\partial p} (x^{2} + p x + q) - \frac{\partial r}{\partial p} x - \frac{\partial s}{\partial p}

g (x) = - \frac{\partial g (x)}{\partial q} (x^{2} + p x + q) - \frac{\partial r}{\partial q} x - \frac{\partial s}{\partial q}

这里的结论是，待求的偏导数，恰好是对商式继续做除法的余式。多项式对给定二次三项式的除法，直接计算即可。这里就求得了四个偏导数。

我们希望 $s$ 和 $r$ 加上偏移 $d s$ 与 $d r$ 得到 $0$ ，即 $d s$ 与 $d r$ 是 $s$ 和 $r$ 的相反数。因此要解方程：

- \frac{\partial r}{\partial p} d p - \frac{\partial r}{\partial q} d q = r

- \frac{\partial s}{\partial p} d p - \frac{\partial s}{\partial q} d q = s

从上述方程组中解得 $p$ 和 $q$ 相应的偏移 $d p$ 和 $d q$ ，直接用二阶行列式求解即可。

实现

// a 是原始的多项式，n 是多项式次数，p 是待求的一次项，q 是待求的常数项
void Shie(double a[], int n, double *p, double *q) {
  // 数组 b 是多项式 a 除以当前迭代二次三项式的商
  memset(b, 0, sizeof(b));
  // 数组 c 是多项式 b 乘以 x 平方再除以当前迭代二次三项式的商
  memset(c, 0, sizeof(c));
  *p = 0;
  *q = 0;
  double dp = 1;
  double dq = 1;
  while (dp > eps || dp < -eps || dq > eps || dq < -eps)  // eps 自行设定
  {
    double p0 = p;
    double q0 = q;
    b[n - 2] = a[n];
    c[n - 2] = b[n - 2];
    b[n - 3] = a[n - 1] - p0 * b[n - 2];
    c[n - 3] = b[n - 3] - p0 * b[n - 2];
    int j;
    for (j = n - 4; j >= 0; j--) {
      b[j] = a[j + 2] - p0 * b[j + 1] - q0 * b[j + 2];
      c[j] = b[j] - p0 * c[j + 1] - q0 * c[j + 2];
    }
    double r = a[1] - p0 * b[0] - q0 * b[1];
    double s = a[0] - q0 * b[0];
    double rp = c[1];
    double sp = b[0] - q0 * c[2];
    double rq = c[0];
    double sq = -q0 * c[1];
    dp = (rp * s - r * sp) / (rp * sq - rq * sp);
    dq = (r * sq - rq * s) / (rp * sq - rq * sp);
    *p += dp;
    *q += dq;
  }
}

参考资料与注释

林士谔。论劈因法解高阶特征方程根值的应用问题。数学进展，1963(03):207-217. ↩

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