数论基础

本文对于数论的开头部分做一个简介。

整除

整除的定义：设 ，。如果 ，使得 ，那么就说 可被 整除，记作 ，且称 是 的倍数， 是 的约数（因数）。

不被 整除记作 。

整除的性质：

  • 设 ，那么 。
  • 设 ，那么 。
  • 设 ，那么 。

是所有非 整数的倍数。对于整数 ， 的约数只有有限个。

显然约数（显然因数）：对于整数 ，、 是 的显然约数。当 时， 只有两个显然约数。

对于整数 ， 的其他约数称为真约数（真因数、非显然约数、非显然因数）。

约数的性质：

  • 设整数 。当 遍历 的全体约数的时候， 也遍历 的全体约数。
  • 设整数 ，则当 遍历 的全体正约数的时候， 也遍历 的全体正约数。

带余数除法

余数的定义：设 为两个给定的整数，。设 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 和 ，满足 。

无论整数 取何值， 统称为余数。 等价于 。

一般情况下， 取 ，此时等式 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法：

绝对最小余数： 取 的绝对值的一半的相反数。即 。

最小正余数： 取 。即 。

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质：

  • 任一整数被正整数 除后，余数一定是且仅是 到 这 个数中的一个。
  • 相邻的 个整数被正整数 除后，恰好取到上述 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 整除。

最大公约数与最小公倍数

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，见 最大公约数。

互素

两个整数互素（既约）的定义：若 ，则称 和 互素（既约）。

多个整数互素（既约）的定义：若 ，则称 互素（既约）。

多个整数互素，不一定两两互素。例如 、 和 互素，但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout's identity）。见 裴蜀定理。

辗转相除法

辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。见 最大公约数。

素数与合数

关于素数的算法见 素数。

设整数 。如果 除了显然约数外没有其他约数，那么称 为素数（不可约数）。

若整数 且 不是素数，则称 为合数。

和 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

  • 大于 的整数 是合数，等价于 可以表示为整数 和 （）的乘积。
  • 如果素数 有大于 的约数 ，那么 。
  • 大于 的整数 一定可以表示为素数的乘积。
  • 对于合数 ，一定存在素数 使得 。
  • 素数有无穷多个。
  • 所有大于 的素数都可以表示为 的形式1。

算术基本定理

算术基本引理：

设 是素数，，那么 和 至少有一个成立。

算术基本引理是素数的本质属性，也是素数的真正定义。

上文给出的素数定义，事实上叫做不可约数，素数是不可约数的子集。在一些整环中（如：唯一分解整环），不可约数和素数是两个不同的集合，在两集合不相等的整环中，算术基本定理不成立。由于整数范围内两个集合完全一致，因此可以不做区分。

算术基本定理（唯一分解定理）：

设正整数 ，那么必有表示：

其中 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式：

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

称为正整数 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

同余

同余的定义：设整数 。若 ，称 为模数（模）， 同余于 模 ， 是 对模 的剩余。记作 。

否则， 不同余于 模 ， 不是 对模 的剩余。记作 。

这样的等式，称为模 的同余式，简称同余式。

根据整除的性质，上述同余式也等价于 。

如果没有特别说明，模数总是正整数。

式中的 是 对模 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 的范围，相应的有 对模 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质：

  • 自反性：。
  • 对称性：若 ，则 。
  • 传递性：若 ，则 。
  • 线性运算：若 则有：
    • 。
    • 。
  • 若 , 则 。
  • 若 ，则当 成立时，有 。
  • 若 ，则当 成立时，有 。
  • 若 ，则当 成立时，有 。若 能整除 及 中的一个，则 必定能整除 中的另一个。

还有性质是乘法逆元。见 乘法逆元。

C/C++ 的整数除法和取模运算

在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。

对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：

  1. 当除数为 0 时，行为未定义；
  2. 否则 (a / b) * b + a % b 的运算结果与 a 相等。

也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。

从 C992和 C++113标准版本起，规定 商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：

1
2
3
4
5 % 3 == 2;
5 % -3 == 2;
-5 % 3 == -2;
-5 % -3 == -2;

数论函数

数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

若函数 满足 且 都有 ，则 为积性函数。

若函数 满足 且 都有 ，则 为完全积性函数。

性质

若 和 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

设

若 为积性函数，则有 。

若 为完全积性函数，则有 。

例子

  • 单位函数：。（完全积性）
  • 恒等函数：， 通常简记作 。（完全积性）
  • 常数函数：。（完全积性）
  • 除数函数：。 通常简记作 或 ， 通常简记作 。
  • 欧拉函数：
  • 莫比乌斯函数：，其中 表示 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。
加性函数

此处加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)。对于加性函数 ，当整数 互质时，均有 。 应与代数中的加性函数 (Additive map) 区分。

参考资料与注释

  1. Are all primes (past 2 and 3) of the forms 6n+1 and 6n-1? ↩

  2. Arithmetic operators (C) - cppreference.com ↩

  3. Arithmetic operators (C++) - cppreference.com ↩

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