数论基础

本文对于数论的开头部分做一个简介。

整除

整除的定义：设 a,b\in\mathbf{Z} ， a\ne0 。如果 \exists q\in\mathbf{Z} ，使得 b=aq ，那么就说 b 可被 a 整除，记作 a\mid b ，且称 b 是 a 的倍数， a 是 b 的约数（因数）。

b 不被 a 整除记作 a\nmid b 。

整除的性质：

  • a\mid b\iff-a\mid b\iff a\mid-b\iff|a|\mid|b|
  • a\mid b\land b\mid c\implies a\mid c
  • a\mid b\land a\mid c\iff\forall x,y\in\mathbf{Z}, a\mid(xb+yc)
  • a\mid b\land b\mid a\implies b=\pm a
  • 设 m\ne0 ，那么 a\mid b\iff ma\mid mb 。
  • 设 b\ne0 ，那么 a\mid b\implies|a|\le|b| 。
  • 设 a\ne0,b=qa+c ，那么 a\mid b\iff a\mid c 。

0 是所有非 0 整数的倍数。对于整数 b\ne0 ， b 的约数只有有限个。

显然约数（显然因数）：对于整数 b\ne0 ， \pm1 、 \pm b 是 b 的显然约数。当 b=\pm1 时， b 只有两个显然约数。

对于整数 b\ne0 ， b 的其他约数称为真约数（真因数、非显然约数、非显然因数）。

约数的性质：

  • 设整数 b\ne0 。当 d 遍历 b 的全体约数的时候， \dfrac{b}{d} 也遍历 b 的全体约数。
  • 设整数 b>0 ，则当 d 遍历 b 的全体正约数的时候， \dfrac{b}{d} 也遍历 b 的全体正约数。

带余数除法

余数的定义：设 a,b 为两个给定的整数， a\ne0 。设 d 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 q 和 r ，满足 b=qa+r,d\le r<|a|+d 。

无论整数 d 取何值， r 统称为余数。 a\mid b 等价于 a\mid r 。

一般情况下， d 取 0 ，此时等式 b=qa+r,0\le r<|a| 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 r 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法：

绝对最小余数： d 取 a 的绝对值的一半的相反数。即 b=qa+r,-\dfrac{|a|}{2}\le r<|a|-\dfrac{|a|}{2} 。

最小正余数： d 取 1 。即 b=qa+r,1\le r<|a|+1 。

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质：

  • 任一整数被正整数 a 除后，余数一定是且仅是 0 到 (a-1) 这 a 个数中的一个。
  • 相邻的 a 个整数被正整数 a 除后，恰好取到上述 a 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 a 整除。

最大公约数与最小公倍数

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，见 最大公约数。

互素

两个整数互素（既约）的定义：若 \gcd(a_1,a_2)=1 ，则称 a_1 和 a_2 互素（既约）。

多个整数互素（既约）的定义：若 \gcd(a_1,\ldots,a_k)=1 ，则称 a_1,\ldots,a_k 互素（既约）。

多个整数互素，不一定两两互素。例如 6 、 10 和 15 互素，但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout's identity）。见 裴蜀定理。

辗转相除法

辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。见 最大公约数。

素数与合数

关于素数的算法见 素数。

设整数 p\ne0,\pm1 。如果 p 除了显然约数外没有其他约数，那么称 p 为素数（不可约数）。

若整数 a\ne0,\pm 1 且 a 不是素数，则称 a 为合数。

p 和 -p 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

  • 大于 1 的整数 a 是合数，等价于 a 可以表示为整数 d 和 e （ 1<d,e<a ）的乘积。
  • 如果素数 p 有大于 1 的约数 d ，那么 d=p 。
  • 大于 1 的整数 a 一定可以表示为素数的乘积。
  • 对于合数 a ，一定存在素数 p\le\sqrt{a} 使得 p\mid a 。
  • 素数有无穷多个。
  • 所有大于 3 的素数都可以表示为 6n\pm 1 的形式1。

算术基本定理

算术基本引理：

设 p 是素数， p\mid a_1a_2 ，那么 p\mid a_1 和 p\mid a_2 至少有一个成立。

算术基本引理是素数的本质属性，也是素数的真正定义。

上文给出的素数定义，事实上叫做不可约数，素数是不可约数的子集。在一些整环中，不可约数和素数是两个不同的集合，在两集合不相等的整环中，算术基本定理不成立。由于整数范围内两个集合完全一致，因此可以不做区分。

算术基本定理（唯一分解定理）：

设正整数 a ，那么必有表示：

a=p_1p_2\cdots p_s

其中 p_j(1\le j\le s) 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式：

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

a={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_s}^{\alpha_s},p_1<p_2<\cdots<p_s

称为正整数 a 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

同余

同余的定义：设整数 m\ne0 。若 m\mid(a-b) ，称 m 为模数（模）， a 同余于 b 模 m ， b 是 a 对模 m 的剩余。记作 a\equiv b\pmod m 。

否则， a 不同余于 b 模 m ， b 不是 a 对模 m 的剩余。记作 a\not\equiv b\pmod m 。

这样的等式，称为模 m 的同余式，简称同余式。

根据整除的性质，上述同余式也等价于 a\equiv b\pmod{(-m)} 。

如果没有特别说明，模数总是正整数。

式中的 b 是 a 对模 m 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 b 的范围，相应的有 a 对模 m 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质：

  • 自反性： a\equiv a\pmod m 。
  • 对称性：若 a\equiv b\pmod m ，则 b\equiv a\pmod m 。
  • 传递性：若 a\equiv b\pmod m,b\equiv c\pmod m ，则 a\equiv c\pmod m 。
  • 线性运算：若 a,b,c,d\in\mathbf{Z},m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m,c\equiv d\pmod m 则有：
    • a\pm c\equiv b\pm d\pmod m 。
    • a\times c\equiv b\times d\pmod m 。
  • 若 a,b\in\mathbf{Z},k,m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m , 则 ak\equiv bk\pmod{mk} 。
  • 若 a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid a,d\mid b,d\mid m ，则当 a\equiv b\pmod m 成立时，有 \dfrac{a}{d}\equiv\dfrac{b}{d}\left(\bmod\;{\dfrac{m}{d}}\right) 。
  • 若 a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid m ，则当 a\equiv b\pmod m 成立时，有 a\equiv b\pmod d 。
  • 若 a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^* ，则当 a\equiv b\pmod m 成立时，有 \gcd(a,m)=\gcd(b,m) 。若 d 能整除 m 及 a,b 中的一个，则 d 必定能整除 a,b 中的另一个。

还有性质是乘法逆元。见 乘法逆元。

C/C++ 的整数除法和取模运算

在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。

对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：

  1. 当除数为 0 时，行为未定义；
  2. 否则 (a / b) * b + a % b 的运算结果与 a 相等。

也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。

从 C992和 C++113标准版本起，规定 商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：

1
2
3
4
5 % 3 == 2;
5 % -3 == 2;
-5 % 3 == -2;
-5 % -3 == -2;

数论函数

数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

若函数 f(n) 满足 f(1)=1 且 \forall x,y\in\mathbf{N}^*,\gcd(x,y)=1 都有 f(xy)=f(x)f(y) ，则 f(n) 为积性函数。

若函数 f(n) 满足 f(1)=1 且 \forall x,y\in\mathbf{N}^* 都有 f(xy)=f(x)f(y) ，则 f(n) 为完全积性函数。

性质

若 f(x) 和 g(x) 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

\begin{aligned} h(x)&=f(x^p)\\ h(x)&=f^p(x)\\ h(x)&=f(x)g(x)\\ h(x)&=\sum_{d\mid x}f(d)g\left(\dfrac{x}{d}\right) \end{aligned}

设 x=\prod p_i^{k_i}

若 F(x) 为积性函数，则有 F(x)=\prod F(p_i^{k_i}) 。

若 F(x) 为完全积性函数，则有 F(x)=\prod F(p_i)^{k_i} 。

例子

  • 单位函数： \varepsilon(n)=[n=1] 。（完全积性）
  • 恒等函数： \operatorname{id}_k(n)=n^k ， \operatorname{id}_{1}(n) 通常简记作 \operatorname{id}(n) 。（完全积性）
  • 常数函数： 1(n)=1 。（完全积性）
  • 除数函数： \sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k} 。 \sigma_{0}(n) 通常简记作 d(n) 或 \tau(n) ， \sigma_{1}(n) 通常简记作 \sigma(n) 。
  • 欧拉函数： \varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]
  • 莫比乌斯函数： \mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\exists d>1,d^{2}\mid n\\(-1)^{\omega(n)}&\text{otherwise}\end{cases} ，其中 \omega(n) 表示 n 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。
加性函数

此处加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)。对于加性函数 f ，当整数 a,b 互质时，均有 f(ab)=f(a)+f(b) 。 应与代数中的加性函数 (Additive map) 区分。

参考资料与注释

  1. Are all primes (past 2 and 3) of the forms 6n+1 and 6n-1? ↩

  2. Arithmetic operators (C) - cppreference.com ↩

  3. Arithmetic operators (C++) - cppreference.com ↩

build本页面最近更新：，更新历史
edit发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
people本页面贡献者：OI-wiki
copyright本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用

评论