k 短路

问题描述

给定一个有 $n$ 个结点， $m$ 条边的有向图，求从 $s$ 到 $t$ 的所有不同路径中的第 $k$ 短路径的长度。

「路径」

本文所指的「路径」允许经过同一条边或同一个结点多次，因此严格的名称应为「途径」而非「路径」。本文讨论的问题严格地说也是 第 $k$ 短途径（ $k$ shortest walk）问题。但是，本文依据习惯仍然采用「路径」这一名称，而对于不自交的路径则称为「简单路径」。

A* 算法

A* 算法是一个搜索算法。它为每个当前状态 $x$ 都设置了一个估价函数 $f (x) = g (x) + h (x)$ ，其中 $g (x)$ 为从初始状态到达当前状态的实际代价， $h (x)$ 为从当前状态到达目标状态的最佳路径的估计代价。搜索时，每次取出 $f (x)$ 最优的状态 $x$ ，扩展其所有后继状态。可以用 优先队列 来维护这个值。

在求解 $k$ 短路问题时，令 $h (x)$ 为从当前结点到达终点 $t$ 的最短路径长度。可以通过在反向图上对结点 $t$ 跑单源最短路预处理出每个结点的这个值。对于每个状态需要记录两个值，即当前到达的结点 $x$ 和已经走过的距离 $g (x)$ ，将这种状态记为 $(x, g (x))$ 。开始时，将初始状态 $(s, 0)$ 加入优先队列。每次取出估价函数 $f (x) = g (x) + h (x)$ 最小的一个状态，枚举该状态所在结点 $x$ 的所有出边，将对应的后继状态加入优先队列。当访问到一个结点第 $k$ 次时，对应状态的 $g (x)$ 就是从起始结点 $s$ 到该结点的第 $k$ 短路的长度。

这一搜索过程可以优化。由于只需要求出从初始结点到目标结点的第 $k$ 短路，所以已经取出的状态到达一个结点的次数大于 $k$ 次时，可以不扩展其后继状态。这一状态不会影响到最后的答案。这是因为之前 $k$ 次取出该结点时，已经形成了到达该结点的 $k$ 条合法路径，足以构造到达目标结点的前 $k$ 条最短路。

若使用优先队列优化 Dijkstra 算法，由于至多会将所有边加入优先队列 $k$ 次，所以算法的时间复杂度是 $O (k m \log k m)$ 的，空间复杂度是 $O (k m)$ 的。相较于直接搜索，A* 算法针对目标结点 $t$ 进行了剪枝，但这仅仅改良了常数，而非渐进复杂度。本节所述算法虽然复杂度并不优秀，但是可以在相同的复杂度内求出从起始点 $s$ 到（以 $t$ 为根的最短路树中）每个结点的前 $k$ 短路。

实现

模板题 Library Checker - K-Shortest Walk 参考实现

// Submission: https://judge.yosupo.jp/submission/311622
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>

constexpr long long inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

struct Edge {
  int u, v, c;

  Edge(int u, int v, int c) : u(u), v(v), c(c) {}
};

int n, m, s, t, k;
std::vector<std::vector<int>> gr, ig;  // Graph and inverse graph.
std::vector<Edge> edges;               // Edges.
std::priority_queue<std::pair<long long, int>,
                    std::vector<std::pair<long long, int>>, std::greater<>>
    pq;

std::vector<long long> dist_t;

// Calculate distances to the destination node t. (Dijkstra)
void calc_distances_to_t() {
  dist_t.assign(n, inf);
  dist_t[t] = 0;
  pq.emplace(dist_t[t], t);
  while (!pq.empty()) {
    long long di = pq.top().first;
    int cur = pq.top().second;
    pq.pop();
    if (di > dist_t[cur]) continue;
    for (auto e : ig[cur]) {
      int nxt = edges[e].u;
      auto di_nxt = di + edges[e].c;
      if (di_nxt < dist_t[nxt]) {
        dist_t[nxt] = di_nxt;
        pq.emplace(di_nxt, nxt);
      }
    }
  }
}

std::vector<long long> ans;

// Find the k shortest walk. (A* search)
// Complexity: O(k * n * log(k * n)).
void find_k_shortest_walks() {
  ans.assign(k, -1);
  std::vector<int> cnt(n);
  pq.emplace(dist_t[s], s);
  while (!pq.empty()) {
    long long cost = pq.top().first;
    int cur = pq.top().second;
    pq.pop();
    // Skip unreachable nodes.
    if (cost >= inf) continue;
    if (cur == t) ans[cnt[t]] = cost;
    ++cnt[cur];
    // Terminate when the destination has been visited k times.
    if (cnt[t] >= k) break;
    // Expand the same node at most k times.
    if (cnt[cur] > k) continue;
    for (auto e : gr[cur]) {
      int nxt = edges[e].v;
      auto cost_nxt = cost - dist_t[cur] + edges[e].c + dist_t[nxt];
      pq.emplace(cost_nxt, nxt);
    }
  }
}

int main() {
  // Input.
  std::cin >> n >> m >> s >> t >> k;
  gr.resize(n);
  ig.resize(n);
  edges.reserve(m);
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    int u, v, c;
    std::cin >> u >> v >> c;
    edges.emplace_back(u, v, c);
    gr[u].push_back(i);
    ig[v].push_back(i);
  }
  // Calculate.
  calc_distances_to_t();
  find_k_shortest_walks();
  // Output.
  for (auto x : ans) std::cout << x << '\n';
  return 0;
}

可持久化可并堆做法

前述算法实际上求出了到达所有结点的 $k$ 短路。如果仅仅是想要求得到达给定目标结点 $t$ 的 $k$ 短路，实际上可以做得更快。本节提供了一种基于可持久化可并堆的 $O (m \log m + k \log k)$ 的做法。

最短路树与偏离边

前述算法的瓶颈在于只有到达目标结点 $t$ 时才会更新答案。但是，不同路径之间可能相差并不大。例如，次短路区别于最短路，可能仅仅是在一条边处多绕了一个结点，而路径的其他部分都是相同的；前述算法却可能需要重复搜索一遍这些相同的边才能找到次短路。由于只有绕路部分才是关键的，所以，要得到前 $k$ 条最短的路径，只需要考虑代价最小的 $k$ 种绕路方式即可。这就引出了最短路树的概念。

在反向图上从目标结点 $t$ 开始跑单源最短路，记录每个结点 $x$ 到 $t$ 的最短路长度 $h (x)$ ，并记录从结点 $x$ 开始的最短路经过的第一条边 $f_{x}$ ；如果有多个最优的选择，选择任意一条即可。所有这些边 $f_{x}$ 及其端点就构成一棵树，且从树上的每个结点 $x$ 到根节点 $t$ 的简单路径都是 $x$ 到 $t$ 的一条最短路径。这就是 最短路树 $T$ 。

求得最短路树 $T$ 后，就可以计算每条不在 $T$ 上的边会多绕多少路。对于边 $e = (u, v) \notin T$ ，边权为 $w$ ，可以定义一条新的边，仍然从 $u$ 指向 $v$ ，且代价为 $Δ (e) = w + h (v) - h (u)$ 。本文形象地称这些权值为 $Δ (e)$ 的边为 偏离边（sidetrack），权值 $Δ (e)$ 则称为偏离成本。如果一条边的端点并非全部在最短路树 $T$ 里，它就不会影响到达结点 $t$ 的 $k$ 短路的计算，可以直接将它们删掉。

下图左侧是有向图 $G$ ，右侧是它对应的最短路树 $T$ （粗边）和相应的偏离边（细边）：

设一条从 $s$ 到 $t$ 的路径经过的边集为 $P$ ，去掉 $P$ 中与 $T$ 的交集得到 $P^{'}$ 。那么，将 $P^{'}$ 中的边顺次排列，它相邻的两条边 $e_{1} = (u_{1}, v_{1})$ 和 $e_{2} = (u_{2}, v_{2})$ 一定满足

条件 $(*)$ ：后者的起点 $u_{2}$ 是前者的终点 $v_{1}$ 在最短路树 $T$ 的祖先（包括其自身）。

这是因为对应的原始路径 $P$ 中， $v_{1}$ 和 $u_{2}$ 之间连接了若干条 $T$ 中的树边。反过来，对于一个满足条件 $(*)$ 的边集 $P^{'}$ ，一定存在唯一一条图 $G$ 中的路径 $P$ 与之对应。这是因为 $v_{1}$ 和 $u_{2}$ 在最短路树 $T$ 上的简单路径是唯一的。这样就说明，原图中的任意路径 $P$ 与满足条件 $(*)$ 的偏离边序列 $P^{'}$ 一一对应。而且，路径 $P$ 的长度就等于最短路长度 $h (s)$ 与这些偏离成本的和：

h (s) + \sum_{e \in P^{'}} Δ (e) .

这些讨论说明，寻找 $k$ 短路的任务转化为寻找成本第 $k$ 小且满足条件 $(*)$ 的偏离边序列 $P^{'}$ 的任务。

为处理条件 $(*)$ ，与其每次查询时在最短路树上寻找祖先，不如直接将每个结点的偏离边集合下传到最短路树上的子孙结点。这相当于建了下面这样的图 $G^{'}$ ：

在这个图上，条件 $(*)$ 就转化为要求 $P^{'}$ 中的边首尾相接，也就是说， $P^{'}$ 是图 $G^{'}$ 中的一条路径。问题进一步转化为在这个图中寻找从 $s$ 出发的长度第 $k$ 小的 到达任意结点的 路径。相对于原始的 $k$ 短路问题，此处不再要求路径一定要结束在目标结点 $t$ 。

转化后的问题很容易解决。直接从起始结点 $s$ 处出发，求单源最短路。每次从优先队列中取出一个结点时，就相当于找到了一条图 $G^{'}$ 中的路径，也就对应着图 $G$ 中一条到达目标结点 $t$ 的路径。

可持久化可并堆优化

算法思路已经明晰。但是，朴素实现这一算法的复杂度过高。由于图 $G^{'}$ 中，单个结点处边的规模可能是 $Θ (m)$ 的，所以每次求单源最短路时，都可能需要将规模为 $Θ (m)$ 的边集压入优先队列。实际上，没有必要将所有边都压入优先队列：很多情况下，压入队列的这些边，只有最短的那些可能会在后续计算中弹出队列。也就是说，完全可以将单个结点处的整个边集作为一个存储单元压入优先队列，每次只要能够快速访问边集中的最短边即可。

这启发我们使用小根堆来存储单个结点处的边集。在求单源最短路的优先队列中，只需要存储这些堆，它们的成本就是堆顶元素对应的最短路成本。每次弹出队首时，都需要一并从队首的堆中弹出堆顶边。然后，既要将弹出堆顶后的堆压回优先队列，也需要将堆顶边终点处的偏离边集合对应的堆顶压入优先队列。

使用堆来存储边集也解决了沿最短路树下传边集的问题。因为下传边集相当于需要将当前结点的边集合并到它的子结点，所以，堆还需要支持合并操作；合并到子结点的同时，还不能破坏当前结点处的边集，所以，堆还需要支持可持久化。这正是可持久化可并堆。

由此，就得到算法的完整过程：

从目标结点 $t$ 出发，跑单源最短路，求出最短路树。
为最短路树上的每个结点都构建对应的偏离边集合，存储到可持久化可并堆里。
沿着最短路树的边，从目标结点 $t$ 开始，将每个结点处的堆都合并到子结点的堆里。
从起始结点 $s$ 出发，将该处的堆压入优先队列。
弹出队首的堆，记录答案，再将弹出堆顶后的堆压回优先队列，并将堆顶边的终点处的堆压入优先队列。

一般采用左偏树或随机堆实现可持久化可并堆。此时，最后一步还可以继续优化。这些堆的内部结构都是二叉树。弹出堆顶后，原本是要合并左右两个子结点，再将合并后的堆顶压入优先队列的；但是，本算法中，可以不执行合并操作，直接将两个子结点对应的堆分别压入优先队列。这样就省去了单次合并的 $O (\log m)$ 的复杂度。由于每次弹出队首堆后，至多会将三个新的堆压入优先队列，所以，优先队列的大小是 $O (k)$ 的。这样，单次查询的时间复杂度就降低到 $O (\log k)$ 。总查询复杂度就是 $O (k \log k)$ 的。

由于构建最短路树和构建可持久化可并堆的复杂度都是 $O (m \log m)$ 的，所以，算法的总时间复杂度为 $O (m \log m + k \log k)$ 的。

实现

模板题 Library Checker - K-Shortest Walk 参考实现

// Submission: https://judge.yosupo.jp/submission/311623
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <random>
#include <vector>

std::mt19937_64 rng(static_cast<std::mt19937_64::result_type>(time(nullptr)));

constexpr long long inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

// Persistent Randomized Heap.
struct PersistentRandomizedHeap {
  static constexpr int N = 1e7;
  int id;
  std::vector<int> rt, lc, rc, to;
  std::vector<long long> va;

  int new_node(long long cost, int _to) {
    ++id;
    va[id] = cost;
    to[id] = _to;
    return id;
  }

  int copy_node(int x) {
    ++id;
    lc[id] = lc[x];
    rc[id] = rc[x];
    va[id] = va[x];
    to[id] = to[x];
    return id;
  }

  int meld(int x, int y, std::mt19937_64::result_type rand) {
    if (!x || !y) return x | y;
    if (va[x] > va[y]) std::swap(x, y);
    x = copy_node(x);
    if (rand & 1) std::swap(lc[x], rc[x]);
    rc[x] = meld(rc[x], y, rand >> 1);
    return x;
  }

  PersistentRandomizedHeap() : id(0), rt(N), lc(N), rc(N), to(N), va(N) {}

  void insert(int i, long long cost, int _to) {
    rt[i] = meld(rt[i], new_node(cost, _to), rng());
  }

  void merge(int i, int j) { rt[i] = meld(rt[i], rt[j], rng()); }

} heaps;

struct Edge {
  int u, v, c;

  Edge(int u, int v, int c) : u(u), v(v), c(c) {}
};

int n, m, s, t, k;
std::vector<std::vector<int>> gr, ig;
std::vector<Edge> edges;
std::priority_queue<std::pair<long long, int>,
                    std::vector<std::pair<long long, int>>, std::greater<>>
    pq;

std::vector<long long> dist_t;
std::vector<int> out;

// Calculate distances to the destination node t. (Dijkstra)
// Record the optimal outgoing edges which form the shortest path tree T.
void calc_distances_to_t() {
  dist_t.assign(n, inf);
  dist_t[t] = 0;
  out.assign(n, -1);
  pq.emplace(dist_t[t], t);
  while (!pq.empty()) {
    long long di = pq.top().first;
    int cur = pq.top().second;
    pq.pop();
    if (di > dist_t[cur]) continue;
    for (auto e : ig[cur]) {
      int nxt = edges[e].u;
      auto di_nxt = di + edges[e].c;
      if (di_nxt < dist_t[nxt]) {
        dist_t[nxt] = di_nxt;
        out[nxt] = e;
        pq.emplace(di_nxt, nxt);
      }
    }
  }
}

// Construct sidetracks and propagate them through tree T.
void build_sidetracks() {
  // Insert all valid sidetracks into heaps.
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    auto edge = edges[i];
    if (out[edge.u] != i && dist_t[edge.u] < inf && dist_t[edge.v] < inf) {
      heaps.insert(edge.u, edge.c + dist_t[edge.v] - dist_t[edge.u], edge.v);
    }
  }
  // Propagate sidetracks down the shortest path tree.
  std::queue<int> q;
  q.push(t);
  while (!q.empty()) {
    auto cur = q.front();
    q.pop();
    for (auto e : ig[cur]) {
      auto nxt = edges[e].u;
      if (out[nxt] == e) {
        heaps.merge(nxt, cur);
        q.push(nxt);
      }
    }
  }
}

std::vector<long long> ans;

// Insert a non-empty heap into the priority queue.
// Total cost is the heap top value adjusted by accumulated cost.
void insert(int x, long long cost) {
  if (x) pq.emplace(cost + heaps.va[x], x);
}

// Find the k shortest paths in the sidetrack graph. (Dijkstra)
// These correspond to the k shortest walks in the original graph.
void find_k_shortest_walks() {
  int cnt = 0;
  ans.assign(k, -1);
  if (dist_t[s] >= inf) return;
  ans[cnt++] = dist_t[s];
  insert(heaps.rt[s], dist_t[s]);
  while (!pq.empty() && cnt < k) {
    auto cost = pq.top().first;
    int cur = pq.top().second;
    pq.pop();
    ans[cnt++] = cost;
    insert(heaps.lc[cur], cost - heaps.va[cur]);
    insert(heaps.rc[cur], cost - heaps.va[cur]);
    insert(heaps.rt[heaps.to[cur]], cost);
  }
}

int main() {
  // Input.
  std::cin >> n >> m >> s >> t >> k;
  gr.resize(n);
  ig.resize(n);
  edges.reserve(m);
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    int u, v, c;
    std::cin >> u >> v >> c;
    edges.emplace_back(u, v, c);
    gr[u].push_back(i);
    ig[v].push_back(i);
  }
  // Calculate.
  calc_distances_to_t();
  build_sidetracks();
  find_k_shortest_walks();
  // Output.
  for (auto x : ans) std::cout << x << '\n';
  return 0;
}

习题

「SDOI2010」魔法猪学院

参考资料与注释

[Tutorial] k shortest paths and Eppstein's algorithm by meooow - Codeforces

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