DFS（图论）

引入

DFS 全称是 Depth First Search，中文名是深度优先搜索，是一种用于遍历或搜索树或图的算法。所谓深度优先，就是说每次都尝试向更深的节点走。

该算法讲解时常常与 BFS 并列，但两者除了都能遍历图的连通块以外，用途完全不同，很少有能混用两种算法的情况。

DFS 常常用来指代用递归函数实现的搜索，但实际上两者并不一样。有关该类搜索思想请参阅 DFS（搜索）.

过程

DFS 最显著的特征在于其 递归调用自身。同时与 BFS 类似，DFS 会对其访问过的点打上访问标记，在遍历图时跳过已打过标记的点，以确保 每个点仅访问一次。符合以上两条规则的函数，便是广义上的 DFS。

具体地说，DFS 大致结构如下：

DFS(v) // v 可以是图中的一个顶点，也可以是抽象的概念，如 dp 状态等。
  在 v 上打访问标记
  for u in v 的相邻节点
    if u 没有打过访问标记 then
      DFS(u)
    end
  end
end

以上代码只包含了 DFS 必需的主要结构。实际的 DFS 会在以上代码基础上加入一些代码，利用 DFS 性质进行其他操作。

性质

该算法通常的时间复杂度为，空间复杂度为，其中表示点数，表示边数。注意空间复杂度包含了栈空间，栈空间的空间复杂度是的。在平均遍历一条边的条件下才能达到此时间复杂度，例如用前向星或邻接表存储图；如果用邻接矩阵则不一定能达到此复杂度。

备注：目前大部分算法竞赛（包括 NOIP、大部分省选以及 CCF 举办的各项赛事）都支持 无限栈空间，即：栈空间不单独限制，但总内存空间仍然受题面限制。但大部分操作系统会对栈空间做额外的限制，因此在本地调试时需要一些方式来取消栈空间限制。
在 Windows 上，通常的方法是在 编译选项 中加入 -Wl,--stack=1000000000，表示将栈空间限制设置为 1000000000 字节。
在 Linux 上，通常的方法是在运行程序前 在终端内 执行 ulimit -s unlimited，表示栈空间无限。每个终端只需执行一次，对之后每次程序运行都有效。

实现

栈实现

DFS 可以使用栈（Stack）为遍历中节点的暂存容器来实现；这与用队列（Queue）实现的 BFS 形成高度对应。

C++Python

vector<vector<int>> adj;  // 邻接表
vector<bool> vis;         // 记录节点是否已经遍历

void dfs(int s) {
  stack<int> st;
  st.push(s);
  vis[s] = true;

  while (!st.empty()) {
    int u = st.top();
    st.pop();

    for (int v : adj[u]) {
      if (!vis[v]) {
        vis[v] = true;  // 确保栈里没有重复元素
        st.push(v);
      }
    }
  }
}

# adj : List[List[int]] 邻接表
# vis : List[bool] 记录节点是否已经遍历


def dfs(s: int) -> None:
    stack = [s]  # 用列表来模拟栈，把起点加入栈中
    vis[s] = True  # 起点被遍历

    while not stack:
        u = (
            stack.pop()
        )  # 拿取并丢弃掉最后一个元素（栈顶的元素），可以理解为走到u这个元素

        for v in adj[u]:  # 对于与u相邻的每个元素v
            if not vis[v]:  # 如果v在此前没有走过
                vis[v] = True  # 确保栈里没有重复元素
                stack.append(v)  # 把v加入栈中

递归实现

函数在递归调用时的求值如同对栈的添加和删除元素的顺序，故函数调用所占据的虚拟地址被称为函数调用栈（Call Stack），DFS 可用递归的方式实现。

以邻接表（Adjacency List）作为图的存储方式：

C++Python

vector<vector<int>> adj;  // 邻接表
vector<bool> vis;         // 记录节点是否已经遍历

void dfs(const int u) {
  vis[u] = true;
  for (int v : adj[u])
    if (!vis[v]) dfs(v)
}

# adj : List[List[int]] 邻接表
# vis : List[bool] 记录节点是否已经遍历


def dfs(u: int) -> None:
    vis[u] = True
    for v in adj[u]:
        if not vis[v]:
            dfs(v)

以链式前向星为例：

C++JavaPython

void dfs(int u) {
  vis[u] = 1;
  for (int i = head[u]; i; i = e[i].x) {
    if (!vis[e[i].t]) {
      dfs(v);
    }
  }
}

public void dfs(int u) {
    vis[u] = true;
    for (int i = head[u]; i != 0; i = e[i].x) {
        if (!vis[e[i].t]) {
            dfs(v);
        }
    }
}

def dfs(u):
    vis[u] = True
    i = head[u]
    while i:
        if vis[e[i].t] == False:
            dfs(v)
        i = e[i].x

DFS 序列

DFS 序列是指 DFS 调用过程中访问的节点编号的序列。

我们发现，每个子树都对应 DFS 序列中的连续一段（一段区间）。

括号序列

DFS 进入某个节点的时候记录一个左括号 (，退出某个节点的时候记录一个右括号 )。

每个节点会出现两次。相邻两个节点的深度相差 1。

一般图上 DFS

对于非连通图，只能访问到起点所在的连通分量。

对于连通图，DFS 序列通常不唯一。

注：树的 DFS 序列也是不唯一的。

在 DFS 过程中，通过记录每个节点从哪个点访问而来，可以建立一个树结构，称为 DFS 树。DFS 树是原图的一个生成树。

DFS 树有很多性质，比如可以用来求强连通分量。

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